其中a，b，c和d为常数，V_in是输入电压，在两个输入频率时为: V₁ cos (ω₁t) + V₂ cos (ω₂t)。因此相位可以忽略，将V_in 带入到等式(1)中，得到：
 

当相乘展开每一项，那么三阶输出为：
 

仅将上式中差分项整理起来得到三阶交调畸变，如下式：

当输入信号具有相同的幅度V时
 

   由于畸变值与V³成正比，输入信号每提高6dB就会导致畸变值提高18 dB。由于输入信号提高6 dB同时也会使期望输出信号提高6dB，因此相对于输出信号，畸变仅提高了12 dB。相似的，当输入信号功率变化3dB会导致相应的畸变值改变6 dB。例如，两个100W输入信号就会产生0.001 mW IMD值，这就等效于输出与输入之间比值为–80dB，即–80dBc。如果输入信号功率变为50W，则IMD 就会变成–86dBc。根据含有不同信号幅度的等式（4），高频信号(F₂)功率变化3 dB会导致较高的IMD 频率(2F₂–F₁)变化3dBc，而较低的IMD 频率仍然保持与输入信号相同的比值。

实际上，通常会有两个以上的输入信号，从而导致更多的交调频率。当只有四条信道时，三阶差分频率为12个，相比之下，在两信道时只有两个。然而具有F₁+F₂–F₃形式的三频率乘积则有27个。其功率是两频率乘积的4倍。当然，并非其中所有的都会成为干扰，但是当信道数量增加时，带内IMD的组合会导致“谱再生”。在任意给定频率处的IMD值取决于很多单个乘积畸变频率的瞬时相位和幅度。由于超过两个频率的测试需要昂贵的测试系统，可以单凭经验变化将双音IMD值转化为多音IMD值。例如：8个信号组合的IMD电平会比等效的双音测量值差10dB。测试表明在正常的工作功率和温度工作范围内，输入信号每变化1dB会导致IMD信号变化3dB(也就是2dBc)。IMD值可以与三阶截取点（IP3）关联，理论上，驱动功率（1 dB/1 dB处）的延长线将与三阶IMD (3 dB/dB处)线在此点相交。为了将三阶截取点转换成以dBc表示的IMD值，假设3 dB/dB准则仍然适用，可以采用下式：
                IMD = 2[IP₃ – P_out] (6)
    其中 IP₃ and P_out 的单位为dB(dBm或dBW)。
 

铁氧体设备中IMD产生的原因

对于上和下谐振条件，结环形器的工作理论在几十年前就已经建立了。从以上和其它的一些考虑来看，引起铁氧体器件非线性的主要原因在于：

.对上谐振器件中亚铁磁谐振的近似

在结处引起循环的同一机制（k/m，渗透率张量中非对角线元素与对角线元素之比）也引起IMD。在一定程度上，IMD值与带宽相互平衡。一般来说，当亚铁磁共振频带远离工作带宽时，更大的外加磁场会带来更好的IMD性能。这会降低k/m和带宽，但是这经常会降低损耗，同时提高结的温度稳定性。材料的多孔性或破碎的铁氧体也会增强IMD。人们采用各种各样的方法来处理铁氧材料，以获得更小和均匀的微粒尺寸减小局部热点。然而，这看起来并不能在IMD上相对于现有材料带来任何优势。基于相同的原因，外加磁场在铁氧体所在区域内应该尽量均匀。在上面的谐振中，对于IMD来说，线幅（ ）并不重要。

.下谐振器件中的自旋波激发

这应该不会真正对IMD造成问题，因为另一个原因促使人们避免产生自旋波：它们导致铁氧结处的高损耗。可以通过选择节点设计参数来对其进行控制，这些参数包括偏置场，铁氧特性如线宽(ΔH)和掺入稀土的铁氧物质用量。当没有激励时，节点线性非常好。在估计自旋波的门限时，需要预留最坏条件下的峰值功率容限。如果n个信道复用，那么每个信道的CW功率必需乘以n² 来估计最差情况下的峰值功率（这里所有的电压附加相位）。对于CDMA应用，有效的峰值功率通常取高于CW 功率12或者13 dB 。

不同于下谐振器件，上谐振设备不会变现出自旋波峰值功率限制。

.节点设计

由于IMD很容易受到RF场强影响，因此需要采取措施来将节点中的场降到最小。

.亚铁金属的存在

与可渗透材料相关的磁滞现象以及非线性B－H曲线产生IMD。钢，不胀钢和（较小的程度上）镍是引起这个问题的典型原因。在这些亚铁材料上镀金或银不能消除IMD效应，因为RF磁场不会被限制在镀层内。

.金属表面和触点

氧化的金属节点会形成低效整流器。铝通常被用于微波元件中，很容易形成氧化物产生IMD。同时，当金属不具有足够的接触压力时会引入非线性隧道。IMD会由“电导率调制”的机制引起。

隔离器设计的出发点是为了避免上述导致IMD的装配方法和材料（除了固有非线性的磁氧材料之外）。余下的能影响IMD的参数是铁氧体4πMs ，外加磁场，和电路的尺寸及形状。隔离器能在4πMs值范围内工作。选择更高的4πMs值相应地需要更高的外加磁场和更大的电路几何尺寸，而不是更低的外加磁场。这些参数的关系是众所周知的，但是如果要获得好的IMD性能这些参数的值就需要尽可能大。高Q电路也会产生更好的IMD，但是确切的电路形状是设计者的个人问题。相对于为了获取高带宽和低插入损耗而设计的隔离器，为了获取最好IMD性能而设计的隔离器在一定程度上具有更窄的带宽和更高的插入损失。

IMD 测试

虽然一些专业的测试需要更复杂的设备来模拟整个系统的IMD性能，最简单的IMD测试是用两个CW信号完成。通常，由于物理上的因果关系是相同的，双音测量值可以转化成等价的多音值以确保服从多信道或者谱再生要求。这使元件生产商可以采用更廉价和更具灵活性的IMD测试平台。

在双音IMD性能测试中，有各种不同方法组合来自信号源F₁ 和F₂的信号。图（1）和图（2）给出了其中的两种方法。第一种方法中，两个输入信号在前向组合，就像在多载波系统中。第二种方法中，第二个信号加于铁氧体元件的输出端。这通常出现于发射机合成器或者能量从同地协作天线进入发射机并产生IMD效应的位置。利用第二种方法生成的IMD由于要隔离被测隔离器，因此与一般拥有恒定功率值的反馈方案不同。由于这两种方法经常在测试平台中使用与IMD畸变测试中相同种类的隔离器/环形器，必须注意一些情况以确保精确的结果。关键事项为：两个信号源之间必须充分隔离以避免信号源之间的混合。隔离器或环形器不同于UUT，在两个频率下都不能工作在全功率。

频谱分析仪中务必不能出现高度混频。噪声门限必须比测试的IMD值低6到10 dB。当用直通连接取代UUT时在噪声门限以上务必不能看到伪响应。如果能观察到不可移出的剩余杂散，可以采用陡峭的滤波器来降低F₁ 或F₂幅度，这样就可以降低杂散信号幅度。通常的，IMD值并不是频率分隔的强函数。
 

信号F₁ 和 F₂在进入UUT之前必须保持分离，从而避免混频发生在UUT的外部。这是通过使用这里所讨论方法中的混合型组合器来完成。其缺点是会损失输入功率的一半。然而该混合型组合器允许任意小的频率间隔，同时在IMD频率处还提供一个信号源匹配。在IMD频率处保持信号源匹配是非常重要的，这是因为对于IMD产物，铁氧体节点或多或少类似于一个各向同性源，也就是说，输入端发射出非常多的IMD，同时如果信号源匹配很差导致大量的反射信号，就大量增加输出端发射出的IMD。其结果是即使当两个源频率的输入功率值相等，也会得到不相等的IMD值。输入电缆的长度也会影响相应的IMD幅度。
 

通过每次关闭一个信号源可以验证它们有相同的IMD产物，必须确保关闭的信号和IMD信号都在频谱分析仪上消失。IMD频率必须是 F₁ 和F₂差值的整数倍。谱分析仪需要调整到最小噪声门限低于期望IMD电平6 到 10 dB 。当IMD信号在噪声门限下丢失，就有必要减慢扫频速度，减小扫描宽度，并/或使用平均的方法。如果信源和谱分析仪合在一起，那么用合成器其中一个10 MHz时钟同步三个仪器将会进一步降低噪声门限。

结论

上谐振隔离器，在两个相同的+43 dBm反馈载波的情况下，产生–65 到–95 dBc之间的三阶IMD，具体数值取决于带宽，节点尺寸和采用的封装技术。目前可以获得的隔离器在很宽的温度范围内800 到 2200 MHz之间具有–85 dBc的IMD。通常这些器件稍大于传统的隔离器，因为它们具有更大范围，更强的磁场，以及更大的电路几何尺寸。由于在更高的频率处具有更大的4πMs和更强的磁场，2200 MHz 频率范围内的隔离器性能稍好于800 MHz频率范围的隔离器。